基本等价：

• $\sin x\sim x$，$\tan x\sim x$，$\arcsin x\sim x$，$\arctan x\sim x$
• $\ln(1+x)\sim x$，$e^{x}-1\sim x$，$a^{x}-1\sim x\ln a$
• $1-\cos x\sim\dfrac{x^{2}}{2}$，$(1+x)^{a}-1\sim ax$，$\sqrt{1+x}-1\sim\dfrac{x}{2}$

高阶等价（高频）：

• $x-\sin x\sim\dfrac{x^{3}}{6}$，$\tan x-x\sim\dfrac{x^{3}}{3}$
• $\arcsin x-x\sim\dfrac{x^{3}}{6}$，$x-\arctan x\sim\dfrac{x^{3}}{3}$
• $x-\ln(1+x)\sim\dfrac{x^{2}}{2}$，$e^{x}-1-x\sim\dfrac{x^{2}}{2}$，$\ln(1+x)-x\sim-\dfrac{x^{2}}{2}$

进阶：加减法拆项 / 替换的精确规则

① 拆项依据（四则运算）：$\lim(f\pm g)=\lim f\pm\lim g$ 的前提是拆开后每一项极限都各自存在（有限）。
　✅ 能拆：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x+x^2}{x}=1+0=1$　　❌ 不能拆：$\lim_{x\to0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$ 两项各自 $\to\infty$

② 替换本质：$\alpha\sim\beta$ 即 $\alpha=\beta+o(\beta)$。乘除中 $o(\beta)$ 被“稀释”可安全替换；加减中若主导项相消，$o(\beta)$ 变决定项，不能再丢。

③ 实用判据：替换后看主导项是否相消——不相消可替，相消不可替（须用泰勒展开 / 整体等价）。

④ 一句话：能拆就拆（各项极限有限）；拆不了就用泰勒展开 / 整体等价，别直接替。

例题（660 题 · 点击展开详解）

• $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$
• $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
• $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e$，$\lim_{x\to\infty}(1+\frac1x)^x=e$
• $\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1$
• $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1$，$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$（$a>0$）

1. 转化为函数极限（最常用）：令 $t=\frac1n$（$t\to0^+$），再用洛必达 / 泰勒 / 等价无穷小。
2. 等价无穷小 + 差角公式：处理 $\arctan$、三角之差。
3. 夹逼准则：求和型，找上下界。
4. 定积分定义：$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f(\frac kn)=\int_0^1 f(x)\,dx$。
5. 单调有界准则：递推数列，证单调 + 有界，求不动点。

例题（点击展开详解）

连续定义：$f(x)$ 在 $x_0$ 连续 $\iff \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$（三条件：有定义、极限存在、极限等于函数值）。左连续 $\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$，右连续 $\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$。

间断点分类：

• 第一类（左右极限都存在）：
  • 可去间断点：左右极限相等，但不等于函数值（或函数在该点无定义）。
  • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等。
• 第二类（左右极限至少一个不存在）：
  • 无穷间断点：极限为 $\infty$。
  • 振荡间断点：如 $\sin\frac1x$ 在 $x=0$。

闭区间连续函数的性质：

• 有界性定理、最值定理（必有最大值、最小值）。
• 介值定理：能取到 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的一切值。
• 零点定理：$f(a)\cdot f(b)<0 \Rightarrow \exists\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。

例题（点击展开详解）

基本导数：

• $(\sin x)'=\cos x$，$(\cos x)'=-\sin x$，$(\tan x)'=\sec^2x$，$(\cot x)'=-\csc^2x$
• $(\sec x)'=\sec x\tan x$，$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
• $(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$(\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $(\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}$，$(\operatorname{arccot} x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}$
• $(x^n)'=nx^{n-1}$，$(e^x)'=e^x$，$(a^x)'=a^x\ln a$，$(\ln x)'=\dfrac1x$

法则：$(uv)'=u'v+uv'$；$(\frac uv)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$；复合函数用链式法则。

高阶：$(\sin x)^{(n)}=\sin(x+\frac{n\pi}{2})$；$(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\frac{n\pi}{2})$；$(e^x)^{(n)}=e^x$；$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$。

• 罗尔：$f$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，$f(a)=f(b)$ $\Rightarrow$ $\exists\xi$ 使 $f'(\xi)=0$。
• 拉格朗日：$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
• 柯西：$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$（$g'(x)\neq0$）。
• 积分中值：$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。

微分：$dy=f'(x)dx$，$\Delta y\approx dy$（线性主部）。

求导补充：

• 隐函数：方程两边对 $x$ 求导，遇 $y$ 时乘 $y'$（$y$ 是 $x$ 的函数）。
• 参数方程：$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$；$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)\Big/\dfrac{dx}{dt}$。
• 对数求导：$y=u(x)^{v(x)}$ 型，两边取 $\ln$ 再求导。

高阶导莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_n^k\,u^{(n-k)}v^{(k)}$。

导数应用：

• 单调性：$f'>0$ 单调增，$f'<0$ 单调减。
• 极值：先找驻点（$f'=0$）与不可导点；判别用 $f''>0$ 极小、$f''<0$ 极大，或一阶导数变号。
• 凹凸性：$f''>0$ 凹（下凸 ∪），$f''<0$ 凸（上凸 ∩）。
• 拐点：$f''$ 变号的点。
• 渐近线：水平 $\lim_{x\to\infty}f(x)=A\Rightarrow y=A$；垂直 $\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\Rightarrow x=x_0$；斜渐近线 $k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x$，$b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-kx]\Rightarrow y=kx+b$。

例题（点击展开详解）

麦克劳林展开（$x\to0$，带佩亚诺余项）：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$

• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
• $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$
• $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots$
• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots$，$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots$
• $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots$（记前两项）

特殊值：$e=1+1+\frac1{2!}+\frac1{3!}+\cdots$；$\ln2=1-\frac12+\frac13-\cdots$；$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\cdots$。

• $\int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\ (n\neq-1)$，$\int\frac1x dx=\ln|x|+C$
• $\int e^x dx=e^x+C$，$\int a^x dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
• $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$，$\int\cos x\,dx=\sin x+C$
• $\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|+C$，$\int\cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$
• $\int\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$，$\int\csc x\,dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$
• $\int\sec^2x\,dx=\tan x+C$，$\int\csc^2x\,dx=-\cot x+C$
• $\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$，$\int\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$

含 $a$ 的：$\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx=\dfrac1a\arctan\dfrac{x}{a}+C$；$\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\dfrac{x}{a}+C$；$\int\dfrac{1}{x^2-a^2}dx=\dfrac{1}{2a}\ln\left|\dfrac{x-a}{x+a}\right|+C$。

两大技巧：换元 $\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$；分部 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$（选 $u$ 口诀“反对幂三指”）。

凑微分（常见套路）：

• $\int f(ax+b)dx=\dfrac1a\int f(ax+b)\,d(ax+b)$
• $\int x^{n-1}f(x^n)dx=\dfrac1n\int f(x^n)\,d(x^n)$
• $\int\dfrac{f(\ln x)}{x}dx=\int f(\ln x)\,d(\ln x)$
• $\int f(\sin x)\cos x\,dx=\int f(\sin x)\,d(\sin x)$；$\int f(e^x)e^x dx=\int f(e^x)\,d(e^x)$

换元（根式）：$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$；$\sqrt{x^2+a^2}$ 令 $x=a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$。

有理函数：先化为真分式，分母分解因式后拆部分分式 $\dfrac{A}{x-a}+\dfrac{B}{(x-a)^2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+px+q}$。

三角有理式（万能代换）：令 $t=\tan\dfrac x2$，$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$，$dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$。

例题（点击展开详解）

性质：

• 线性、区间可加性 $\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$。
• 保序：$f\le g\Rightarrow\int f\le\int g$；估值 $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$。
• 积分中值：$\int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)$。

微积分基本定理（牛莱公式）：$\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中 $F'(x)=f(x)$。

变上限积分求导：

• $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x)$。
• $\dfrac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$。
• 一般：$\dfrac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi)\varphi'-f(\psi)\psi'$。

换元与分部：换元要换限（$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)du$）；分部 $\int_a^b u\,dv=uv\big|_a^b-\int_a^b v\,du$。

对称性（高频）：

• $f$ 偶函数：$\int_{-a}^a f=2\int_0^a f$；$f$ 奇函数：$\int_{-a}^a f=0$。
• 周期 $T$：$\int_a^{a+T}f=\int_0^T f$。

华里士公式（$0\to\frac\pi2$）：$\int_0^{\pi/2}\sin^nx\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos^nx\,dx=\dfrac{n-1}{n}\cdot\dfrac{n-3}{n-2}\cdots$（$n$ 偶乘 $\frac\pi2$，$n$ 奇乘 $1$）。

反常积分：无穷限 $\int_a^{+\infty}f=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f$；瑕积分（无界函数）$\int_a^b f=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{a+\epsilon}^b f$。$p$ 积分：$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 当 $p>1$ 收敛，$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 当 $p<1$ 收敛。

例题（点击展开详解）

平面图形面积：

• 直角坐标：$S=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$。
• 极坐标：$S=\dfrac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)\,d\theta$。

旋转体体积：

• 绕 $x$ 轴（圆盘法）：$V=\pi\int_a^b [f(x)]^2 dx$。
• 绕 $y$ 轴（柱壳法）：$V=2\pi\int_a^b x f(x)dx$（$x>0$）。

弧长：直角坐标 $s=\int_a^b\sqrt{1+[y']^2}\,dx$；参数方程 $s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\,dt$。

平均值：$\bar f=\dfrac1{b-a}\int_a^b f(x)dx$。

可分离：$\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow\displaystyle\int\dfrac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$。

一阶线性：$y'+P(x)y=Q(x)$，通解 $y=e^{-\int P\,dx}\left[\displaystyle\int Q\,e^{\int P\,dx}dx+C\right]$。

二阶常系数齐次 $y''+py'+qy=0$，特征方程 $r^2+pr+q=0$：

• 两不等实根 $r_1,r_2$：$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$。
• 重根 $r$：$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$。
• 共轭复根 $r=\alpha\pm i\beta$：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。

（伯努利方程、可降阶、非齐次特解等，等学到这再回来补。）